دسته‌بندی‌ها

  • منتشر شده در جمعه ۱۳۹۹/۱۰/۱۹
اگر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم فرد باشد

اگر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم فرد باشد

چندضلعی منتظم

در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

ویژگی‌ها[ویرایش]

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است.

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

چندضلعی‌های منتظم کوژ[ویرایش]

همهٔ چندضلعی‌های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی‌های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می‌شود.

زاویه‌ها[ویرایش]

برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:

یا ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} رادیان

و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با 360 n {\displaystyle {\tfrac {360}{n}}} درجه.

قطرها[ویرایش]

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با n ( n − 3 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}} ، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

مساحت[ویرایش]

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:[۱][۲]

(زوایا برحسب رادیان است.)

که در آن R برابر است با:

مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده‌است:

در بین همهٔ n-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به n-ضلعی منتظم است.[۳]

چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای[ویرایش]

یک چندضلعی منتظم غیرکوژ، یک چندضلعی منتظم ستاره‌ای است. متداول‌ترین نمونه، ستاره پنج‌پر است که رأس‌های آن دقیقاً مشابه پنج‌ضلعی منتظم هستند، ولی هر رأس به دو رأس متفاوت با پنج‌ضلعی متصل شده است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

fa.wikipedia.org

fa.wikipedia.org .

محاسبه تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم با داشتن یک زاویه

اگر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم فرد باشد

سوالی که شما پرسیدید :

فرض کنید تنها یک زاویه داخلی از یک چندضلعی منتظم را بدانیم. میخواهیم ببینیم روش محاسبه تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم با داشتن یک زاویه داخلی آن چگونه است … 

محاسبه تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم با داشتن یک زاویه داخلی

سوال : فرض کنید تنها یک زاویه داخلی از یک چندضلعی منتظم را بدانیم. میخواهیم ببینیم روش محاسبه تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم با داشتن یک زاویه داخلی آن چگونهه است.

پاسخ :

روش مستقیم حل این سوال اینه که فرمول زیر رو برابر با زاویه داخلی داده شده قرار بدیم و با انجام دادن یه سری محاسبات جبری، مقدار n یعنی تعداد اضلاع را پیدا کنیم.

n-2)×۱۸۰/n) = اندازه هر زاویه داخلی یک n ضلعی منتظم

اما استفاده ازین روش خیلی محاسبات زیادی داره. من میخوام یه روش خیلی خیلی ساده تر بهتون یاد بدم. میدونیم که زاویه داخلی و خارجی در هر گوشه مکمل هم هستن، یعنی جمعشون میشه ۱۸۰ درجه. پس من اول میام زاویه داخلی که داده شده رو از ۱۸۰ کم میکنم تا زاویه خارجی بدست بیاد. حالا اگه ۳۶۰ رو به زاویه خارجی تقسیم کنم، تعداد اضلاع چندضلعی بدست میاد!

آخرش یه ذره گیج شدی؟؟؟

ببین، میدونیم که مجموع زاویه های خارجی همه ی چندضلعی ها برابر ۳۶۰ درجه است. اگه شکلمون منتظم باشه یعنی همه زاویه هاش باهم برابره، داخلی هاش باهم و خارجی هاش هم باهم. خب یعنی اگه ۳۶۰ رو بر تعداد زاویه ها ( که مساوی تعداد اضلاع هست ) تقسیم کنیم، اندازه هر زاویه خارجی بدست میاد. من این جا اومدم برعکسش عمل کردم. ۳۶۰ رو بر زاویه خارجی تقسیم کردم تا تعداد اضلاع بدست بیاد. به همین سادگی!

حالا برای شکل داده شده بیایم حساب کنیم که چندضلعی هستش:

۴۵ = ۱۳۵ – ۱۸۰ = زاویه خارجی

۸ = ۴۵ / ۳۶۰ = تعداد اضلاع

این شکل یک هشت ضلعی منتظم است!

به صورت فرمولی این کارایی که انجام دادیم به صورت زیر میشه :

(زاویه داخلی – ۱۸۰ ) ÷ ۳۶۰ = تعداد اضلاع

نکته:

دقیقا با استفاده از برعکس این روش میتونیم خیلی راحت اندازه هر زاویه داخلی یک چندضلعی منتظم رو بدون استفاده از فرمول خودش بدست بیاریم. میتونید بگید چطوری؟

در مطالب بعدی این موضوع رو براتون آموزش میدم.

شاید مطالب زیر برای شما مفید باشه :

www.darsdarkhane.ir

www.darsdarkhane.ir .

 

 

نظر خود را بنویسید

آخرین مطالب

مطالب تصادفی